Section : Caractérisation des processus AR
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Définitions :

1. Avec les notations précédentes, on appelle corrélation partielle de $U$ avec $V$ sachant $Z_1,\ldots,Z_k$, la quantité
   $${\rho}(U;Z_1,...,Z_k;V)= \left\{\begin{array}{l} 0\mbox{ si }U=U^... ...)]\over {\sigma}_{(X-X^*)}{\sigma}_{(Y-Y^*)}} \mbox{ sinon} \end{array}\right.$$
   où on note ${\rho}(A,B)$ la corrélation entre $A$ et $B$.
2. Soit $X=(X_i,i\in{\mathbb{Z}})$ un processus du second ordre. On définit sa fonction d'autocorrélation partielle par
   $$\forall s,t\in{\mathbb{Z}},\ \ r_X(s,t)=\left\{ \begin{arra... ...mbox{ si }s\leq t\ r_X(t,s)\mbox{ sinon.} \end{array}\right.$$

Exemple : $r_X(s,s+1)={\rho}_X(s,s+1)$.

Proposition 2.II.3   Soit $X$ est un processus faiblement stationnaire.

• $r_X=r_{B(X)}$ ; autrement dit,
  $$\forall s,t,h\in{\mathbb{Z}},\ \ r_X(s,t)=r_X(s+h,t+h)=r_X(0,\vert t-s\vert)\equiv r_X(\vert t-s\vert).$$
• Si la matrice des corrélations $R_X(h)$ n'est pas inversible, alors $r_X(h)=0$.
• Si $R_X(h)$ est inversible, alors $r_X(h)={\alpha}^{(h)}_h$ avec ${\alpha}^{(h)}_h$ déterminé par les équations de Yule-Walker (). Attention, on n'a pas $r_X(l)={\alpha}^{(h)}_l$ pour $l=1,...,h-1$.