Preuve de la proposition (suite et fin).

est faiblement stationnaire, pour montrer que son processus d'innovation ${\varepsilon}$ est un bruit blanc, il reste à montrer que les variables ${\varepsilon}_t$ ont toutes même variance. Or

$\displaystyle \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_t)=\mathop{\hbox{\upsh... ...athop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\right)$ car $\displaystyle {\varepsilon}_t\bot 1,P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)$

Comme

est faiblement stationnaire, $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_t)$ ne dépend pas de

; il en donc de même pour $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits ({\varepsilon}_t)$ si $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\right)$ est également indépendante de

. D'après un résultat admis de la théorie hilbertienne,

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)=P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)$ au sens de la norme hilbertienne $\displaystyle \$

En conséquence,

$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}{\mathbb{E}}\left[P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)\right]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}\langle P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t),1\rangle$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \langle P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t),1\rangle={\mathbb{E}}\left[P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\right]$
$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}{\mathbb{E}}\left[\left(P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)\right)^2\right]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}\left\Vert P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldot... ...h})}(X_t)\right\Vert^2_2=\left\Vert P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\right\Vert^2_2$
$\displaystyle \lim_{h\rightarrow +\infty}\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t)}(X_t)\right)$

Il suffit donc de montrer que $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)\right)$ ne dépend pas de

pour achever la démonstration de la proposition. Soient ${\alpha}_0,\ldots,{\alpha}_h$ tels que

$\displaystyle P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)={\alpha}_0+{\alpha}_1X_{t-1}+\cdots+{\alpha}_nX_{t-h}$

D'après le corollaire

, on peut choisir $({\alpha}_1,\ldots,{\alpha}_h)$ indépendamment de

. La variance

$\displaystyle \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left({\alpha}_1X_{t-1}+\cdots+{\alpha}_hX_{t-h}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i,j=1}^h{\alpha}_i{\alpha}_j\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left(X_{t-i},X_{t-j}\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i,j=1}^h{\alpha}_i{\alpha}_j{\gamma}_X\left(\left\vert i-j\right\vert \right)$

ne dépend dès lors pas davantage de

. Ce qui clôt la preuve de la proposition.