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Définition :

Soit $x=(x_t,t\in T)$ une série temporelle. On appelle modèle linéaire avec erreur ARMA toute modélisation de $x$ comme réalisation d'un processus $X$ vérifiant

$$\forall t\in T,\ \ X_t=f(t,{\beta})+Y_t$$

avec $f$ fonction linéaire du paramètre ${\beta}\in {\mathbb{R}}^d$ et $Y$ processus ARMA. Si $f$ est une fonction constante de $t$, alors on dit simplement que $X$ est un processus ARMA décentré.

L'estimation simultanée des différents paramètres de $X$ est complexe. Rappelons les résultats de l'exercice : si $X=(X_t,t\in\left\{1,\ldots,N\right\})$ vérifie $X=A.{\beta}+Y$ avec $A$ matrice de dimensions $N\times m$ et de rang $m$, $Y=(X_t,t\in\left\{1,\ldots,N\right\})$ processus ARMA$(p,q)$ de matrice de covariance ${\sigma}^2R^{(N)}_{({\theta},{\phi})}$, avec ${\theta},{\phi}$ connus, et $({\beta},{\sigma}^2)\in{\mathbb{R}}^m\times{\mathbb{R}}^*_+$ paramètres, alors l'estimateur des moindres carrés de ${\beta}$ - i.e. celui qui minimise ${\sigma}^2$ -, qui est aussi l'estimateur du maximum de vraisemblance à supposer que $Y$ soit gaussien, est

$$\hat{\beta}=\left({}^tA\left(R^{(N)}_{({\theta},{\phi})}\right)^{-1}A\right)^{-1}{}^tA\left(R^{(N)}_{({\theta},{\phi})}\right)^{-1}X.$$ (41)

Comme $p,q,{\theta},{\phi}$ ne sont pas connus mais doivent être estimés, on peut procèder de manière récurrente, par approximations successives :

• On suppose d'abord que $p=q=0$, i.e. que $Y$ est un bruit blanc. On en déduit l'estimation $\hat{\beta}_{(0)}=\left({}^tAA\right)^{-1}{}^tAX$ de ${\beta}$ à partir de la formule ordinaire.
• On calcule la série temporelle $y_{(0)}=x-A.\hat{\beta}_{(0)}$, qu'on modélise par un processus ARMA( $p_{(1)},q_{(1)}$) de paramètres $\hat{\theta}_{(1)}$ et $\hat{\phi}_{(1)}$.
• On en déduit alors une nouvelle estimation
  $$\hat{\beta}_{(1)}=\left({}^tA\left(R^{(N)}_{(\hat{\theta}_{(1)},\... ...t)^{-1}{}^tA\left(R^{(N)}_{(\hat{\theta}_{(1)},\hat{\phi}_{(1)})}\right)^{-1}x$$
• On recalcule la série temporelle des erreurs $y_{(1)}=x-A.\hat{\beta}_{(1)}$ qu'on modélise par un processus ARMA( $p_{(2)},q_{(2)}$) de paramètres $\hat{\theta}_{(2)}$ et $\hat{\phi}_{(2)}$.
• On réitère le procédé jusqu'à ce que les valeurs prises par les paramètres ne se modifient sensiblement plus.

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