Section : Test de Shapiro
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Exercice 8.

Modèle linéaire avec bruit corrélé. Soit $x=(x_t,t=1,\ldots,n)$ une série temporelle associée au processus aléatoire $X=(X_t,t=1,\ldots,n)$. On suppose que $X$ vérifie le modèle $(*)$ : $X=A.{\beta}+{\varepsilon}$ avec $A$ matrice de dimensions $n\times p$ et de rang $p$, ${\varepsilon}$ vecteur aléatoire centré de matrice de covariance ${\sigma}^2{\Gamma}$, avec ${\Gamma}$ connue, et $({\beta},{\sigma}^2)\in{\mathbb{R}}^p\times{\mathbb{R}}^*_+$ paramètres.

1. Montrer que ${\Gamma}$ est une matrice symétrique positive.
2. On suppose désormais ${\Gamma}$ inversible. Déterminer une matrice orthogonale $O$ telle que $O{\varepsilon}$ soit un vecteur dont les composantes sont indépendantes.
3. En déduire une transformation du modèle $(*)$ en modèle linéaire ordinaire, puis déterminer l'estimateur des moindres carrés de ${\beta}$ correspondant et sa matrice de covariance.
4. On suppose ${\varepsilon}$ gaussien. Déterminer la fonction de vraisemblance du modèle $(*)$, puis l'estimateur du maximum de vraisemblance de ${\beta}$.