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Test de Shapiro

Il s'agit d'un test de normalité qui peut s'appliquer à tout échantillon.

Soit $({\varepsilon}_1,\ldots,{\varepsilon}_n)$ un $n$-échantillon. On souhaite tester $H_0$ : les ${\varepsilon}_i$ sont de loi ${\cal N}({\mu},{\sigma}^2)$. Soit ${\varepsilon}_{(1)}<{\varepsilon}_{(2)}<\cdots<{\varepsilon}_{(n)}$ la statistique d'ordre associée. Sous $H_0$, ${\mathbb{E}}[{\varepsilon}_{(i)}]={\mu}+{\sigma}m_{(i)}$ avec $m_{(i)}={\mathbb{E}}[U_{(i)}]$ où $U_{(1)}<U_{(2)}<\cdots<U_{(n)}$ est la statistique d'ordre associée à un $n$-échantillon $(U_1,\ldots,U_n)$ de gaussiennes centrées réduites. Les valeurs $m_{(i)}$ peuvent être calculées et sont connues. On a $m_{(i)}\simeq{\Phi}^{-1}((i-0,5)/n)$, avec ${\Phi}$ la fonction de répartition de la loi gaussienne centrée réduite. On en déduit que sous $H_0$ le graphe des points $((m_{(i)},{\varepsilon}_{(i)}),i=1,\ldots,n)$ (appelé droite de Henry ou q-q plot) doit être approximativement situé sur une droite. On mesure la linéarité de ce nuage de points à l'aide du coefficient de corrélation linéaire ${\rho}$, dont la puissance quatrième est égal au produit du coefficient de détermination $R^2$ associé à la régression de ${\varepsilon}_{(i)}$ sur $m_{(i)}$, par le coefficient de détermination $R'{}^2$ associé à la régression de $m_{(i)}$ sur $Y_{(i)}$. Les quantiles de la loi de ${\rho}^2$ sous $H_0$ peuvent être calculés, et on en déduit un test de $H_0$ de zone de rejet de la forme ${\rho}^2<q_{\alpha}$.

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