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Test du Portemanteau

(Attention : portemanteau signifie fourre-tout en anglais). Ce test évalue la corrélation existant entre les résidus.

Soit ${\varepsilon}=({\varepsilon}_1,\ldots,{\varepsilon}_n)$ une famille de variables aléatoires de loi à densité. On souhaite encore tester $H_0$ : ${\varepsilon}$ est un bruit blanc fort. On note

$$\hat{\rho}_{\varepsilon}(h)=\frac{\frac{1}{n-h}\sum_{i=1}^{n-h}{\varepsilon}_i{\varepsilon}_{i+h}}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\varepsilon}_i^2}$$

Il s'agit d'un estimateur de la corrélation. En effet, de même que $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\varepsilon}_i^2$ est un estimateur de la variance $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left({\varepsilon}_t\right)={\mathbb{E}}\left[{\varepsilon}_t^2\right]$ , de même $\frac{1}{n-h}\sum_{i=1}^{n-h}{\varepsilon}_i{\varepsilon}_{i+h}$ est un estimateur de $\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits \left({\varepsilon}_t,{\varepsilon}_{t+h}\right)={\mathbb{E}}\left[{\varepsilon}_t{\varepsilon}_{t+h}\right]$ . Notons que sous $H_0$ cette covariance est nulle si $h\not=0$.

Sous $H_0$, pour $n$ grand et $k<n/4$, $(\hat{\rho}_{\varepsilon}(h),h=1,\ldots,k)$ est approximativement un bruit blanc gaussien de variance $1/n$. Il s'ensuit que

$$Q_{BP}=n\sum_{h=1}^k\hat{\rho}_{\varepsilon}^2(h)$$

suit approximativement une loi du $\chi^2$ à $k$ degrés de liberté. Une trop grande valeur de $Q_{BP}$ indiquerait une certaine corrélation entre les ${\varepsilon}_i$. On en déduit un test au niveau ${\alpha}$ de $H_0$ de zone de rejet $Q_{BP}>\chi^2_{1-{\alpha}}(k)$, avec $\chi^2_a(h)$ le quantile d'ordre $a$ de la loi du $\chi^2$ à $k$ degrés de liberté. En fait, on peut améliorer sensiblement ce test en considérant plutôt la statistique

$$Q_{LB}=n(n+2)\sum_{h=1}^k\frac{\hat{\rho}_{\varepsilon}^2(h)}{n-h},$$

qui, sous $H_0$, suit également, pour $n$ grand, une loi du $\chi^2$ à $k$ degrés de liberté.

Ce test, sous sa première forme, est aussi appelé test de Box-Pierce ; sous sa seconde, il est connu sous le nom de test de Ljung-Box.

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