Section : Modèles linéaires avec bruit
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Exercice 1.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus de type MA($1$) décentré :

$$\forall t\in{\mathbb{Z}}\ \ X_t={\mu_X}+{\varepsilon}_t+{\theta}{\varepsilon}_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc gaussien de variance ${\sigma}^2$ et $\vert{\theta}\vert<1$. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de ${\mu_X}$ et de ${\theta}$, sachant $(X_1,\ldots,X_N)$.