Section : Estimation des caractéristiques d'un
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Estimation de la moyenne du processus

L'estimateur usuel de la moyenne ${\mu_X}$ du processus $X$ est la moyenne empirique

$$\overline{X}_N=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^NX_t$$

C'est la variable aléatoire qui minimise

$$Y\mapsto{\mathbb{E}}\left[\sum_{t=1}^N(X_t-Y)^2\right]$$

Si $X$ est un bruit blanc gaussien décentré, $\overline{X}_N$ est l'estimateur UVMB de ${\mu_X}$, c'est aussi l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Théorème 3.II.1   Soit $X$ un processus faiblement stationnaire de moyenne ${\mu_X}$. Alors

1. $\overline{X}_N$ est un estimateur sans biais de ${\mu_X}$.
2. si $$\lim_{t\rightarrow +\infty}{\gamma}_X(t)=0$$, alors $$\lim_{N\rightarrow +\infty}\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (\overline{X}_N)=0$$ ; il en résulte que $\overline{X}_N$ converge vers ${\mu_X}$ au sens de la norme hilbertienne et qu'il est un estimateur faiblement consistant.
3. si $$\sum_{t=0}^{+\infty}\vert{\gamma}_X(t)\vert<+\infty$$ , alors
   $$\lim_{N\rightarrow +\infty}N\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimi... ...verline{X}_N)%=2{\pi}f_X(0) ={\gamma}_X(0)+2\sum_{t=1}^{+\infty}{\gamma}_X(t).$$