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Démonstration du théorème

Le point est évident. Le second est une conséquence de l'égalité suivante :

$$\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\bar X_N\right) = \frac{1}{N^2}\sum_{s,t=1}^N{\gamma}_X\left(\left\vert s-t\right\vert\right)$$

$$= \frac{1}{N^2}\sum_{u=-N+1}^{N-1}\left(N-\left\vert u\right\vert\right){\gamma}_X\left(\left\vert u\right\vert\right)$$

$$\leq \frac{2}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\left\vert{\gamma}_X\left(u\right)\right\vert$$

Or un résultat classique sur les moyennes de Césaro nous apprend que si $\left\vert{\gamma}_X(N)\right\vert$ tend vers 0 quand $N$ tend vers l'infini, alors $\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\left\vert{\gamma}_X\left(u\right)\right\vert$ converge aussi vers 0. Cela achève de démontrer le point . Montrons le point : on a

$$\frac{1}{N}\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\sum_{u=... ...\vert p\vert)=\sum_{p=-\infty}^{+\infty}{\alpha}_{p,N}{\gamma}_X(\vert p\vert)$$

avec ${\alpha}_{p,N}=\frac{N-p}{N}$ si $\vert p\vert <N$ et ${\alpha}_{p,N}=0$ sinon. Pour tout $N$, on a $\vert{\alpha}_{p,N}{\gamma}_X(\vert p\vert)\vert\leq \vert{\gamma}_X(\vert p\vert)\vert$ et $$\sum_{t=0}^{+\infty}\vert{\gamma}_X(t)\vert<+\infty$$ . On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, et en déduire

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}N\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits \left(\bar X_N\right) = \lim_{N\rightarrow +\infty} \sum_{p=-\infty}^{+\infty}{\alpha}_{p,N}{\gamma}_X(\vert p\vert)$$

$$= \sum_{p=-\infty}^{+\infty}\lim_{N\rightarrow +\infty}{\alpha}_{p,N}{\gamma}_X(\vert p\vert)$$

$$= \sum_{p=-\infty}^{+\infty}{\gamma}_X(\vert p\vert)$$

Corollaire 3.II.2   Théorème central limite. Soit $X$ un processus fortement stationnaire vérifiant

$$X={\mu_X}+{\psi}(B)({\varepsilon})$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc fort de variance ${\sigma}^2$ et ${\psi}(B)$ filtre linéaire. Alors $\sqrt{N}(\overline{X}_N-{\mu_X})$ converge en loi vers une gaussienne centrée de variance ${\gamma}_X(0)+2\sum_{t=1}^{+\infty}{\gamma}_X(t)$.

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