Section : Représentation causale et inversible
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Fin de la démonstration du théorème

Soit $X$ un processus auto-régressif d'ordre $p$ :

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ X_t+{\phi}_1X_{t-1}+\cdots+{\phi}_pX_{t-p}={\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2$ et ${\phi}_p\not=0$. D'après la proposition , comme la transformée en $z$ du filtre $I+{\phi}_1B+\cdots+{\phi}_pB^p$ ne s'annule pas sur le cercle unité, il existe une représentation causale (et inversible) de $X$, et on peut donc supposer que ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation associé à $X$. Alors, quel que soit $h\geq0$,

$$P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-p-h})}(X_t) = P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-p-h})}\left({\varepsilon}_t\rig... ...1,X_{t-1},\ldots,X_{t-p-h})}\left({\phi}_1X_{t-1}+\cdots+{\phi}_pX_{t-p}\right)$$

$$= -P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-p-h})}\left({\phi}_1X_{t-1}+\cdots+{\phi}_pX_{t-p}\right) {\varepsilon}_t\bot V^2(1,X_u,u<t)$$

$$= -\left({\phi}_1X_{t-1}+\cdots+{\phi}_pX_{t-p}\right)$$

Comme $R_X(p+h)$ est toujours inversible, puisque ${\rho}_X$ tend vers 0 en $+\infty$ (cf ), on déduit de la proposition :

$$r_X(p) = {\alpha}_p^{(p)}=-{\phi}_p$$

$$r_X(p+h) = 0\ \ \forall h>0$$

Pour conclure cette section, le théorème suivant complète le corollaire , et propose une réciproque au théorème .

Théorème 2.III.9   Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus faiblement stationnaire tel que ${\varphi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$, avec ${\varepsilon}$ bruit blanc. Alors

1. Si les racines de ${\varphi}(z)$ sont de module strictement plus grand que $1$, et si les racines de ${\theta}(z)$ sont de module plus grand ou égal à $1$, alors ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation de $X$.
2. ${\varphi}(z)$ ne s'annule pas sur le cercle unité, le filtre ${\varphi}(B)$ est inversible et $X$ est donc un processus ARMA($p,q$).

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