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Exercice 19.

Déterminer parmi les processus suivants lesquels sont décrits par un modèle ARMA causal ou inversible :

$$X_t+0,2X_{t-1}-0,48X_{t-2} = {\varepsilon}_t$$

$$Y_t+0,6Y_{t-1} = {\varepsilon}_t+1,2{\varepsilon}_{t-1}$$

$$Z_t+1,6Z_{t-1} = {\varepsilon}_t-0,4{\varepsilon}_{t-1}+0,04{\varepsilon}_{t-2}$$

$$U_t-1,3U_{t-1}+0,4U_{t-2} = {\varepsilon}_t+5{\varepsilon}_{t-1}$$

$$V_t-2V_{t-1}+\frac{5}{9}V_{t-2} = {\varepsilon}_t$$

$$W_t = {\varepsilon}_t-{\varepsilon}_{t-1}+6{\varepsilon}_{t-2}$$

avec ${\varepsilon}$ un bruit blanc de variance ${\sigma}^2$.

Proposition 2.III.7   Soit ${\alpha}\in{\mathbb{C}}$, avec $\vert {\alpha}\vert\not=1$. Si ${\varepsilon}$ est un bruit blanc de variance ${\sigma}^2$, alors $(I-{\alpha}B)\circ\left(I-\frac{1}{\bar\alpha}B\right)^{-1}({\varepsilon})=\left(I-\frac{1}{\bar\alpha}B\right)^{-1}\circ(I-{\alpha}B)({\varepsilon})$ est encore un bruit blanc, de variance $\left\vert {\alpha}\right\vert^2{\sigma}^2$ .

Provisoirement admis.

Corollaire 2.III.8   Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus ARMA($p,q$), tel que ${\varphi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$, avec ${\varepsilon}$ bruit blanc, ${\varphi}(z)=1+{\varphi}_1z+\cdots+{\varphi}_pz^p$ et ${\theta}(z)=1+{\theta}_1z+\cdots+{\theta}_qz^q$ ne s'annulant pas sur le cercle unité. Alors il existe une représentation ARMA ($p,q$) causale et inversible de $X$.

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