Section : Représentation causale et inversible
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Démonstration du théorème

La preuve découle directement du commentaire ci-dessus. Il s'agit de montrer que $P^\bot_{V^2(X_s,s<t)}(X_t)$ est égal à $X_t-{\varepsilon}_t$. Or

• d'après la représentation AR($\infty$), $X_t-{\varepsilon}_t$ appartient à $V^2(X_s,s<t)$ ;
• d'après la représentation MA($\infty$), $X_t-(X_t-{\varepsilon}_t)={\varepsilon}_t$ est décorrélé avec $X_s={\varepsilon}_s+\sum_{u=1}^{+\infty}{\psi}_u{\varepsilon}_{s-u}$ pour tout $s<t$, car ${\varepsilon}$ est un bruit blanc ; $X_t-(X_t-{\varepsilon}_t)$ est donc orthogonal à $V^2(X_s,s<t)$.

  D'après le théorème , cela démontre que $X_t-{\varepsilon}_t$ est la projection orthogonale de $X_t$ sur ${V^2(X_s,s<t)}$, ce qui achève la preuve du théorème.