Section : Représentation causale et inversible
Précédent : Définition :
Suivant : Commentaire.

Définition :

Soit $X$ un processus ARMA($p,q$) vérifiant ${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$ avec ${\varepsilon}$ bruit blanc, ${\theta}(B)=I+{\theta}_1B+\cdots{\theta}_qB^q$ et ${\varphi}(B)=I+{\varphi}_1B+\cdots+{\varphi}_pB^p$ filtre inversible. Si ${\phi}(z)$ ne s'annule pas sur le disque unité, alors on dit qu'il s'agit d'une représentation ARMA causale de $X$. Si ${\theta}(z)$ ne s'annule pas sur le disque unité, alors on dit qu'il s'agit d'une représentation ARMA inversible de $X$.

Théorème 2.III.6   En reprenant les notations précédentes, si $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ est un processus faiblement stationnaire vérifiant la représentation ARMA causale et inversible

$${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon}),$$

alors ${\varepsilon}$ est le processus d'innovation de $X$.