Section : Caractérisation des processus AR
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Exercice 16.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}}$ le processus MA($1$) tel que Soit $({\varepsilon}_n,n\in{\mathbb{Z}})$ un bruit blanc faible de variance ${\sigma}^2$.

$$\forall p\in{\mathbb{Z}}\ \ X_p={\varepsilon}_p-{\theta}{\varepsilon}_{p-1}$$

avec $\left\vert{\theta}\right\vert<1$ et ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2$. Montrer que les coefficients d'autocorrélation partielle de $X$ s'écrivent

$$r_X(h)=-(-{\theta})^h{1-{\theta}^2\over 1-{\theta}^{2h+2}}$$

Théorème 2.II.4   Soit $X$ un processus faiblement stationnaire, dont la fonction d'autocorrélation tend vers 0 en $+\infty$. Alors $X$ est un processus AR($p$) si et seulement s'il est centré et si $r_X(p)\not=0$ et $r_X(h)=0$ quel que soit $h>p$.

Lemme 2.II.5   Soit $X$ un processus faiblement stationnaire. Si $$\lim_{h\rightarrow +\infty}{\rho}_X(h)=0$$, la matrice des corrélations $R_X(h)$ est inversible quel que soit $h\geq1$.