Section : Algèbres et partitions
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Algèbre engendrée par une famille de variables aléatoires

Soit $Z$ une v.a. à valeurs dans $E$ . L'algèbre ${\cal F}(Z)$ engendrée par $Z$ sera, par définition, l'algèbre engendrée par la partition ${\cal P}_{Z}$ . Il est facile de voir que

$${\cal F}(Z)=\{[Z\in \Gamma]\;\;\;;\;\;\;\Gamma \subset E\}$$

Si $Z$ est un couple $(Z_{1},Z_{2})$, tout atome $[Z_{1}=k_{1}]$ de ${\cal F}(Z_{1})$ appartient à ${\cal F}(Z)$ puisqu'on peut l'écrire $\sum_{k_{2}}[Z_{1}=k_{1} ; Z_{2}=k_{2}]$ ; il en résulte que ${\cal F}(Z_{1})\subset {\cal F}(Z_{1},Z_{2})$
On généralise aisément par récurrence cette situation au cas de $N$ variables aléatoires : soit $Z_{1},Z_{2},\ldots , Z_{N}$ une suite de v.a. ; notons ${\cal F}_{n}$ l'algèbre ${\cal F}(Z_{1},Z_{2},\ldots , Z_{n})$. Alors

$${\cal F}_{1}\subset {\cal F}_{2}\subset \ldots \subset {\cal F}_{N}$$