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Proposition

Posons $ Y_N=\log \tilde{S}_N^N $ ; la suite ($ Y_N$) converge en loi vers une gaussienne de moyenne $ -\sigma^2/2$ et de variance $ \sigma ^2$ qui , rappelons le , a pour densité de probabilité la fonction $ \nu$ définie sur $ {\mathbb{R}}$ par
$\displaystyle \nu (y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{(y+\frac{\sigma^2}{2})^2}{2\sigma^2})$ (7.9)

Démonstration : On a $ \log \tilde{S}_N^N=X_1^N+X_2^N+\cdots X_N^N$ quand on a posé $ X_n^N=\log \frac{T_n^N}{1+r_N}$
Vérifions que les suites $ (X_n^N\;;1\leq n\leq N)$ satisfont aux hypothèses du lemme 6.2.1 :
Soient $ f$ et $ u : {\mathbb{R}}_+\mapsto {\mathbb{R}}$ définies par
$\displaystyle f(x)=\log \frac{x}{1+r_N}\;\;\;;\;\;\;u(x)=\frac{(x-(1+a_N))f(1+b_N)+(1+b_N-x)f(1+a_N)}{b_N-a_N}$
Comme $ u$ est égale à $ f$ aux 2 points $ 1+a_N$ et $ 1+b_N$ , $ \textbf{E*}_N[f(T_1^N)]=\textbf{E*}_N[u(T_1^N)]$ ; d'autre part , puisque u est affine ,
$\displaystyle \textbf{E*}_N[u(T_1^N)]=u(\textbf{E*}_N[T_1^N])=u(1+r_N)$
On a donc , après avoir noté que $ f(1+b_N)=-f(1+a_N)=\sigma/\sqrt{N}$ ,
$\displaystyle \mu_N=\textbf{E*}_N[X_1^N]=\textbf{E*}_N[f(T_1^N)]=u(1+r_N)=\frac{\sigma (2r_N-(a_N+b_N))}{(b_N-a_N)\sqrt{N}}$
Rappelons alors que

$\displaystyle 1+a_N$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1+r_N)\exp (-\frac{\sigma}{\sqrt{N}})=(1+r_N)[1-\frac{\sigma}{\sqrt{N}}+\frac{\sigma^2}{2N}+o(1/N)]$  
$\displaystyle 1+b_N$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1+r_N)\exp (\frac{\sigma}{\sqrt{N}})=(1+r_N)[1+\frac{\sigma}{\sqrt{N}}+\frac{\sigma^2}{2N}+o(1/N)]$  

Il en résulte que
$\displaystyle b_N-a_N=\frac{2\sigma}{\sqrt{N}}+o(1/N)\;\;;\;\;2r_N-(a_N+b_N)=-\frac{\sigma^2}{N}(1+r_N)+o(1/N)$
On a donc
$\displaystyle \lim_{N\to \infty}N\mu_N=\lim_{N\to \infty}\frac{-\sigma^2(1+r_N)+No(1/N)}{2(1+r_N)+o(1/N)}= -\sigma^2/2$
ce qui , compte tenu du lemme 6.2.1 , démontre la proposition .

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Jacques Azéma