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Les formules de Black and Scholes

Nous allons obtenir les prix des options d'achat et de vente "à temps continu" en passant à la limite dans les formules correspondantes du modèle de C.R.R. . Pour une fois , nous nous intéresserons d'abord , (il y a pour cela des raisons techniques que nous découvrirons plus bas) , aux options de vente .
Plaçons sous la probabilité $\textbf{P}_N^*$ décrite dans le paragrahe précédent ; le prix $P^N_0$ à l'instant 0 du put de prix d'exercice $K$ est donné par les égalités

$$P_0^N=\frac{1}{{(1+r_N)}^N}\textbf{E}^*_N[(K-S_N^N)^+]= \textbf{E... ...{(1+r_N)}^N}-\tilde{S}_N^N)^+]= \textbf{E}^*_N[(\frac{K}{(1+r_N)^N}-e^{Y_N})^+]$$

Il s'agit maintenant d''étudier la limite de cette quantité quand $N\to +\infty$ . Soit $\psi$ la fonction définie par $\psi (y)=(Ke^{-Rt}-e^y)^+$ ; on a

$$\vert P^N_0-\textbf{E}^*_N[\psi(Y_N)]\vert = \vert\textbf{E}^*_N[(\frac{K}{(1+r_N)^N}- e^{Y_N})^+-(Ke^{-Rt}-e^{Y_N})^+]\vert$$

$$\leq \textbf{E}^*_N[\vert(\frac{K}{(1+r_N)^N}-e^{Y_N})^+-(Ke^{-Rt}-e^{Y_N})^+\vert]$$

$$\leq K\vert\frac{1}{{(1+r_N)^N}}-e^{-Rt}\vert\to 0$$

(La dernière ligne provenant de l'inégalité entre nombres réels : $\vert a^+-b^+\vert\leq \vert a-b\vert$) ; il en résulte que

$$\lim_{N\to \infty}P_0^N=\lim_{N\to \infty}\textbf{E}^*_N[\psi(Y_N)]$$

Mais , d'après la définition même de la convergence en loi , on a , puisqe $\psi$ est continue et bornée , (ce qui ne serait pas le cas pour le calcul analogue relatif au call) ,

$$\lim_{N\to \infty}P_0^N=\int_{{\mathbb{R}}}\psi(y)\nu(y)dy=\frac{... ...\int_{{\mathbb{R}}}[Ke^{-Rt}- \exp(-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma y)]^+e^{-y^2/2}dy$$ (7.10)

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