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Introduction d'une valeur initiale

Nous avons jusqu'à présent supposé que la valeur initiale $S_0^N$ del'actif risqué était égale à $1$ ; reprenons maintenant les calculs au début du paragraphe 6.2 en supposant que $S_0^N$ est une constante déterministe $S_0$ (ne dépendant pas de $N$) .
Appelant $S'$ et $P'$ les valeurs respectives de l'actif sous jacent et du put dans cette nouvelle situation , on a ${S'}_N^N=S_0S_N^N$ de sorte que

$${P'}_0^N=\frac{1}{{(1+r_N)}^N}\textbf{E}^*_N[(K-{S'}^N_N)^+]=\frac{S_0}{{(1+r_N)}^N }\textbf{E}^*_N[(\frac{K}{S_0}-S_N^N)^+]$$

La limite $P$ de cette expression quand $N$ tend vers l'infini sera le prix du put dans le modèle à temps continu ; il s'écrit , en vertu de (6.10)

$$P=\frac{S_0}{\sqrt{2\pi}}\int_{{\mathbb{R}}}[\frac{K}{S_0}e^{-Rt}... ...thbb{R}}}[Ke^{-Rt}-S_0exp(-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma y)]^+e^{-\frac{y^2}{2}}dy$$

On exprime d'habitude ce résultat de façon légèrement différente : posons

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{-y^2}{2}}dy\;... ...ac{1}{\sigma}(\frac{\sigma^2}{2}+Log\frac{S_0}{K}+Rt) \;\;,\;\;d_2=d_1-\sigma .$$ (7.11)

On voit facilement que

$$P=Ke^{-Rt}F(-d_2)-S_0F(-d_1) .$$ (7.12)

On procède de la même façon pour définir "à temps continu" la valeur du call de prix d'exercice $K$ et de date d'exercice $t$ : $C$ sera , par définition ,la limite des quantités ${C'}_0^N$ quand $N\to \infty$ . La formule de parité écrite pour les processus de C.R.R. conduit aux égalités

$${C'}^N_0-{P'}^N_0=S_0-\frac{K}{(1+r_N)^N}$$

D'où , en passant à la limite , $C-P=S_0-Ke^{-Rt}$ ; on a donc $C=S_0[1-F(-d1)]-Ke^{-Rt}[1-F(-d_2)]$, ce qui peut encore s'écrire

$$C=S_0F(d_1)-Ke^{-Rt}F(d_2)$$ (7.13)

Les égalités (6.11) et (6.13) constituent les "formules de Black and Scholes ."
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