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Lemme

Pour tout $N\geq 1$ , on se donne une suite $(X_n^N\;;\; 1\leq n \leq N)$ de $N$ variables aléatoires indépendantes et équidistribuées à valeurs dans l'ensemble à 2 points $\{-\frac{\sigma }{\sqrt{N}}\; , +\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\}$ ; on suppose en outre que l'espérance $\mu_N$ de $X_1^N$ est telle que

$$\lim_{N\to \infty}N\mu_N =\mu$$ (7.4)

La suite $(Y_N)$ définie par $Y_N=X_1^N+X_2^N+\cdots +X_N^N$ converge alors en loi vers une gaussienne de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma ^2$ .

Démonstration : Si $\phi_N$ est la fonction caractéristique de $Y_N$ , on a

$$\phi_N(\lambda)=\textbf{E}[e^{i\lambda Y_N}]=(\textbf{E}[e^{i\lambda X_1^N}])^N$$

Utilisant alors le théorème de Paul Lévy relatif à la convergence en loi , on voit qu'il nous faut montrer que

$$\lim_{N\to \infty}\phi_N (\lambda)=\exp (i\lambda\mu -\lambda^2 \sigma^2/2)$$ (7.5)

La formule de Taylor à l'ordre 2 avec reste de Lagrange permet d'écrire

$$e^{i\lambda x}=1+i\lambda x-(\lambda x)^2/2 +R(x)$$

avec $\vert R(x)\vert=\frac{1}{6}\vert\lambda \vert^3\vert x\vert^3$ ; on a donc

$$e^{i\lambda X_1^N}=1+i\lambda X_1^N-\frac{1}{2}\lambda ^2(X_1^N)^2+R(X_1^N)$$ (7.6)

avec $\vert R(X_1^N)\vert\leq \frac{\vert\lambda \sigma\vert^3}{6N\sqrt{N}}$ . Prenant alors l'espérance des 2 membres de (6.6) , on obtient

$$\textbf{E}[e^{i\lambda X_1^N}]=1+i\lambda \mu_N -\frac{\lambda^2 \sigma^2}{2N}+\textbf{E}[R(X_1^N)]$$ (7.7)

Mais comme

• $\vert\textbf{E}[R(X_1^N)]\vert\leq \textbf{E}[\vert R(X_1^N)\vert]\leq \frac{\vert\lambda \vert^3\sigma ^3}{6N\sqrt{N}}=o(1/N)$
• $\mu _N=\frac{\mu}{N}+o(1/N)$ ,

on peut écrire

$$\textbf{E}[e^{i\lambda X_1^N}]=1+i\lambda \frac{\mu}{N}-\frac{\lambda ^2\sigma ^2}{2N}+o(1/N)$$ (7.8)

Revenons alors à l'étude de $\phi_N$ : on a

$$\phi _N(\lambda) = \exp [N\log (1+i\lambda \frac{\mu}{N}-\frac{\lambda ^2\sigma ^2}{2N}+o(1/N))]$$

$$= \exp [i\lambda \mu -\frac{\lambda^2 \sigma^2}{2}+No(1/N)+\epsilon (1/N)]$$

($\epsilon$ désignant une fonction tendant vers 0 à l'origine , et le symbole $\log$ la détermination principale du logarithme complexe) . Il ne reste plus quà faire tendre $N$ vers l'infini pour obtenir (6.5)

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