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Une suite de processus de Cox , Ross et Rubinstein

Dans tout ce paragrahe , nous supposerons données 3 constantes strictement positives $t , R , \sigma$ . Pour chaque entier $N>0$ nous allons construire un marché financier de C.R.R. de la façon suivante :

• Les valeurs des 2 actifs seront observés aux $N+1$ instants $0,t/N,2t/N , \cdots ,Nt/N=t$
• Le taux d'intérêt $r_N$ entre les 2 dates $nt/N$ et $(n+1)t/N$ sera égal à $\frac{rT}{N}$ .
• On définit $a_N$ et $b_N$ par les égalités
  $$1+a_N=(1+r_N)e^{-\sigma /\sqrt{N}}\;\;,\;\;1+b_N=(1+r_N)e^{\sigma/\sqrt{N}}$$
• On notera $(T_1^N,T_2^N,\cdots ,T_N^N)$ une suite de $N$ v.a. indépendantes équidistribuées à valeurs dans $\{1+a_N ,1+ b_N\}$ ; on supposera en outre $\textbf{E*}_N[T_1^N]=1+r_N$ ce qui ,nous l'avons vu , détermine la loi des v.a. $T_n^N$ .
• Le cours de l'actif risqué ,noté $S_n^N$ est donné par la formule $S_n^N=T_1^NT_2^N\cdots T_n^N$ , (on suppose $S_0^N=1$)

Le pas des subdivisions que nous avons construites sur $[0\;t]$ tend vers 0 quand $N\to \infty$ . Il parait naturel de penser que notre suite de processus disccrets va converger (en un sens que nous ne préciserons pas ici) vers un marché financier à temps continu d'horizon $t$ . Puisque

$$\lim_{N\to \infty}{(1+r_N)}^N=\lim_{N\to \infty}{(1+\frac{Rt}{N})}^N=e^{Rt}\;,$$

$R$ apparait comme le taux d'intérêt instantané du processus limite .
Pour avoir une interprétation analogue de $\sigma$ , nous aurons besoin du lemme suivant

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