Section : La formule de Black
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Taux d'intérêt instantanés

Soit $s : {\mathbb{R}}^+ \mapsto {\mathbb{R}}_+^*$ une fonction strictement positive et dérivable supposée représenter l'évolution des cours d'un actif sans risque (déterministe) au cours du temps (continu) . Si $t<u$ , la quantité

$$r_{tu}=\frac{1}{s(t)}\frac{s(u)-s(t)}{u-t}$$

est le taux d'intérêt entre les instants $t$ et $u$ . Le taux d'intérêt instantané $r(t)$ à l'instant $t$ sera , par définition ,

$$r_t=\lim_{u\downarrow t}r_{tu}=\frac{s'(t)}{s(t)}$$ (7.1)

La connaissance de la fonction $t\mapsto r_t$ et de la valeur à l'origine $s_0$ de notre actif sans risque permet de reconstituer la fonction $s$ ; celle-ci est en effet l'unique solution de l'équation différentielle

$$\lbrace \begin{array}{l} ds(t)=s(t)r(t)dt\ s(0)=s_0 \end{array}$$

On a donc

$$s(t)=s_0\exp (\int_0^tr(v)dv)\;\;;\;\;s(u)=s(t)\exp(\int_t^ur(v)dv)$$ (7.2)

Dans le cas où le taux instantané est une constante $r$ , les égalités précédentes deviennent

$$s(t)=s_0e^{rt}\;\;\;,\;\;\;s(u)=s(t)e^{r(u-t)}$$ (7.3)