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Loi d'un couple de variables aléatoires

Soient $X_1 : \Omega \mapsto E_1$ et $X_2 :\Omega \mapsto E_2$ deux variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité $(\Omega ,\textbf{P})$ .
Posons , pour tout $\omega \in \Omega \;\;,\;\; X(\omega ) = (X_1(\omega ) ,X_2(\omega ))$ ; $X$ est alors une variable aléatoire à valeurs dans l'espace produit $E=E_1\times E_2$ , que l'on appellera le couple $(X_1,X_2)$ . Posons
$X_1(\Omega)=F_1\; , \; X_2(\Omega)=F_2$ ; on peut appliquer les définitions et les résultats du paragraphe précédent à la variable aléatoire $X$ ; il en résulte que:

• La loi $\Pi_X$ du couple $(X_1,X_2)$ est une probabilité sur l'ensemble fini $F_1\times F_2$
• Soit $f:E_1\times E_2 \mapsto {\mathbb{R}}$ ; $f(X_1,X_2)$ est alors une variable aléatoire réelle et
  $$\textbf{E}[f(X_1,X_2)]=\sum_{x_1\in F_1;x_2\in F_2} f(x_1,x_2) \Pi_X(x_1,x_2)$$
  avec les cas particuliers suivants , obtenus en choisissant convenablement la fontion $f$ ,
• Si $A_1\subset F_1\;\;$ ,
  $$\;\; \textbf{P}[X_1\in A_1] = \Pi_{X_1}A_1=\Pi_X(A_1\times F_2) = \sum_{x_1\in A_1;x_2\in F_2}\Pi _X(x_1,x_2)$$
• Soit $\phi _1 :E_1 \mapsto {\mathbb{R}}$ ; on a
  $$\textbf{E}[\phi _1 (X_1)] = \sum_{x_1\in F_1;x_2\in F_2}\phi _1(x_1) \Pi _X(x_1,x_2)$$

Les loi de chacune des deux variables $X_1 et X_2$ sont appelées lois marginales du couple ; il resulte des 2 points qui précèdent qu'on les déduit aisément de la loi $\Pi_X$ ; par exemple ,

$$\forall x_1\in F_1 \;\;\;,\;\;\Pi_{X_1}(x_1)=\sum_{x_2\in F_2}\Pi_X(x_1,x_2)$$

Inversement , on ne peut pas déduire la loi d'un couple de la seule connaissance de ses lois marginales.
Pour s'en convaincre , on réfléchira à l'exercice suivant :

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