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Un exemple : la loi multinomiale .

Sans le dire , nous avons supposé que notre sondage préélectoral concernait le second tour des élections présidentielles (il ne restait que 2 candidats) ; on peut, sans changer d'espace de probabilité, revenir 15 jours en arrière et s'intéresser au premier tour , à ses $q$ candidats ,et surtout à leurs électeurs qui forment une partition $E_1,E_2,...E_q$ de la population $E$ ; on posera $n_j=cardE_j\;\;\; (1\leq j\leq q)\;\;\;\;(2\leq q\leq n)$ et l'on se rappellera que $n_1+n_2+...+n_q=n$. On pose ensuite

$$Z_j=card\{i\;\vert X_i\in E_j\}\;\;\;\;(1\leq j\leq q)$$

( $Z_j(\omega )$ représente le nombre d'électeurs du candidat $j$ figurant sur la liste $\omega$ de $p$ électeurs ramenée par notre enquêteur) . Notons au passage que $Z_1+Z_2+....Z_q=p$ , et posons $Z=(Z_1,Z_2,...,Z_q)$ .
Le calcul des lois marginales de $Z$ est facile et sera laissé au lecteur ( la loi de $Z_j$ , est binomiale de paramètres ( ${n_j\over n} ,p$)) ; intéressons nous maintenant à la loi de $Z$ , c'est à dire aux quantités

$$\Pi_Z(k_1,k_2,...,k_q)=\textbf{P}[Z_1=k_1;Z_2=k_2 ;....;Z_q=k_q]$$

quand $k_1+k_2+...k_q=p$ .
Nous avons donc à calculer le cardinal $N$ de l'ensemble des suites de taille $p$ qui ont $k_1$ termes dans $E_1$ ,$k_2$ termes dans $E_2$ etc...Pour faire cela , on remarque d'abord que le nombre de suites dont les $k_1$ premiers termes sont dans $E_1$ , les $k_2$ suivants dans $E_2$,...,et les $k_q$ derniers dans $E_q$ est égal à $n_1^{k_1}n_2^{k_2}....n_q^{k_q}$ ; $N$ s'obtient en multipliant cette quantité par le nombre $P$ de partitions de $\{1,2,...,p \}$ en sous ensembles de cardinaux $k_1,k_2,...,k_q$ ; Or , $P$ est égal à

$$\left(\begin{array} {c}p\\ k_1 \end{array}\right) \left(\begin{ar... ...}p-k_1-k_2-...-k_{q-1}\\ k_q \end{array}\right) = \frac{p!}{k_1!k_2!....k_q!} .$$

On obient donc finalement:

$$\Pi_Z(k_1,k_2,...,k_q)={N\over n^p}=\frac{p!}{k_1!k_2!....k_q!}({... ... n})^{k_1}({n_2\over n})^{k_2}....({n_q\over n})^{k_q} 1_{[k_1+k_2+....+k_q=p]}$$

Cette loi de probabilité sur $F=\{0,1,2,...,p\}^q$ est appelée loi multinomiale de paramètres
( ${n_1\over n} ,{n_2\over n},...,{n_q\over n},p,q$) . On remarquera que son support est le sous ensemble strict de $F$ :

$$\{k\in F\;\vert \; k_1+k_2+....+k_q=p\}$$

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