Section : Les options américaines
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Valeur d'une option américaine

Nous ferons appel aux mêmes idées que pour les options européennes : la valeur $U_n$ d'une option $({Z}_k)$ à la date $n$ sera la somme d'argent dont le vendeur doit disposer à cette date pour être en mesure d'honorer son contrat à toute date postérieure à $n$ s'il recourt à une stratégie optimale ; raisonnons par récurrence descendante et supposons connue à la date $n$ la somme d'argent $U_n$ nécessaire à la couverture de l'option entre $n$ et $N$ ; $U_{n-1}$ doit alors satisfaire les 2 conditions suivantes :

• permettre de couvrir un éventuel exercice de l'option à la date $n-1$ , ce qui entraine $U_{n-1}\geq Z_{n-1}$.
• être assuré de disposer le lendemain de la somme $U_n$ , ce qui peut être obtenu en simulant la v.a. $U_n$ à la date $n$ ; on doit donc avoir $U_{n-1}\geq V(\phi)_{n-1}$ , où $\phi$ est un portefeuille vérifiant
  $V_n(\phi)=U_n$ . Plaçons nous sous $\textbf{P*}$ ; comme $(\tilde V_n(\phi))$ est une martingale ,
  $\beta_{n-1}V_{n-1}(\phi)=\beta _n\textbf{E*}[V_n(\phi)\vert {\cal F}_{n-1}]$ , d'où l'on tire $V_{n-1}(\phi)=\frac{1}{1+r}\textbf{E*}[U_n\vert {\cal F}_{n-1}]$

Cela nous conduit à la définition suivante :