Section : Filtres et stationnarité
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Preuve.

Soit $t\in{\mathbb{Z}}$ quelconque.

$$({\phi}*{\psi})(B)(X)_t = \sum_{u\in{\mathbb{Z}}}({\phi}*{\psi})_uX_{t-u}=\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}\left(\sum_{v\in{\mathbb{Z}}}{\phi}_v{\psi}_{u-v}\right)X_{t-u}$$

$$= \sum_{u\in{\mathbb{Z}}}\sum_{v\in{\mathbb{Z}}}{\phi}_v{\psi}_{u-v}X_{t-u}$$

$${\phi}(B)({\psi}(B)(X))_t = \sum_{v\in{\mathbb{Z}}}{\phi}_v{\psi}(B)(X)_{t-v}=\sum_{v\in{\mathbb{Z}}}{\phi}_v\left(\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}{\psi}_{u-v}X_{t-u}\right)$$

$$= \sum_{v\in{\mathbb{Z}}}\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}{\phi}_v{\psi}_{u-v}X_{t-u}$$

la convergence des séries étant bien sûr entendu au sens de la norme hilbertienne. Démontrer la proposition revient donc à montrer que l'on peut intervertir les limites sans changer la valeur de la somme. L'espace $L^2({\Omega},{\cal F},\P)$ étant un espace complet, il suffit pour cela que la série soit absolument convergente. Or

$$\sum_{u,v\in{\mathbb{Z}}}\Vert {\phi}_v{\psi}_{u-v}X_{t-u}\Vert_2... ...ert=\sqrt{{\gamma}_X(0)+{\mu}_X^2}\Vert{\phi}\Vert_1\Vert{\psi}\Vert_1<+\infty$$

On peut donc inverser l'ordre de sommation, ce qui signifie l'égalité - au sens $L^2$, donc $\P$-p.s. - entre $({\phi}*{\psi})(B)(X)_t$ et ${\phi}(B)({\psi}(B)(X))_t$.

Comme corollaire à cette proposition, il faut d'abord noter la commutativité des filtres linéaires, puisque la convolution est commutative; mais aussi que les notions d'inversibilité et d'inverse sont identiques que l'on considère le filtre linéaire comme endomorphisme de $l^1({\mathbb{Z}})$ ou comme opérateur sur les processus faiblement stationnaires.

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