Section : Filtres et stationnarité
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Exercice 18.

Soit ${\varphi}\in l^1({\mathbb{Z}})$. Alors ${\varphi}\in l^2({\mathbb{Z}})$, et la série

$$\sum_{u\in{\mathbb{Z}}}{\varphi}_u{\varepsilon}_{t-u}$$

converge bien dans $L^2({\Omega},{\cal F},\P)$, si ${\varepsilon}$ est un bruit blanc. Montrer que si de plus $$\sum_{u=-\infty}^{+\infty}\vert u\vert{\varphi}^2_u<+\infty$$ , alors la série précédente converge presque sûrement. Indication : utiliser le lemme de Borel-Cantelli et l'inégalité de Bienaymé-Tchebycheff.

La proposition suivante permet de relier la convolution dans $l^1({\mathbb{Z}})$ et la composition des filtres linéaires en tant qu'opérateurs sur les processus faiblement stationnaires.

Proposition 2.III.2   Soient ${\phi}(B)$ et ${\psi}(B)$ deux filtres linéaires, et $X$ est processus faiblement stationnaire. Alors, quel que soit $t\in{\mathbb{Z}}$,

$$({\phi}(B)({\psi}))(B)(X)_t=({\phi}*{\psi})(B)(X)_t={\phi}(B)({\psi}(B)(X))_t \ \P$$ -p.s.$$\$$