Section : Caractérisation des processus AR
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Démonstration du théorème

On suppose que $X$ est un processus faiblement stationnaire centré vérifiant

$${r}_X(p) \not=$$ 0

$${r}_X(h) = 0\ \ \forall h>p$$

Soit ${\varepsilon}$ le bruit blanc d'innovation associé, de variance ${\sigma}^2$. Soit $h\geq p$ quelconque. Montrons que pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$, on a :

$$P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})}(X_t)=P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t)$$ (23)

En effet, on sait que

$$P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})}(X_t)={\alpha}_0^{(h+1)}+... ...+1)}X_{t-1}+\cdots+{\alpha}_{h}^{(h+1)}X_{t-h}+{\alpha}_{h+1}^{(h+1)}X_{t-h-1}$$

avec ${\alpha}_{h+1}^{(h+1)}=r_X(h+1)$ d'après la proposition . Or $r_X(h+1)=0$ car $h$ est supérieur ou égal à $p$. Donc $P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})}(X_t)$ appartient à $V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})$. Il en résulte

$$P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}(X_t) = P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})}\circ P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})} V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})\subset V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})$$

$$= P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})} P^\bot_{V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h-1})}\in V^2(1,X_{t-1},\ldots,X_{t-h})$$

On déduit de () que pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$

$$P^\bot_{V^2(1,X_s,s<t)}(X_t)=\stackrel{\ \Vert.\Vert_2}{\lim_{... ...}(X_t)={\alpha}_0^{(p)}+{\alpha}_1^{(p)}X_{t-1}+\cdots+{\alpha}_p^{(p)}X_{t-p}$$

La constante ${\alpha}_0^{(p)}$ est nulle car le processus $X$ est centré, et les autres coefficients $({\alpha}_1^{(p)},\ldots,{\alpha}_p^{(p)})$ ne dépendent pas de $t$ car comme on sait ils sont déterminés par les équations de Yule-Walker. Notons enfin que ${\alpha}_p^{(p)}=r_X(p)$ est non nul. Il en résulte

$${\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(1,X_s,s<t)}(X_t)=X_t-{\alpha}_1^{(p)}X_{t-1}-\cdots-{\alpha}_p^{(p)}X_{t-p}$$

Ceci démontre la première part du théorème. La preuve de la réciproque est reportée.
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