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Notations et définitions

1. On appelle opérateur retard, noté $B$ (comme Backward), l'opérateur linéaire qui à une série temporelle $x=(x_t,t\in{\mathbb{Z}})$ (resp. un processus aléatoire $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$) fait correspondre la série $B(x)=(B(x)_t=x_{t-1},t\in{\mathbb{Z}})$ (resp. le processus $B(X)=(B(X)_t=X_{t-1},t\in{\mathbb{Z}})$). Cet opérateur est inversible, et $B^{-1}(x)=(B^{-1}(x)_t=x_{t+1})$ (resp. $B^{-1}(X)=(B^{-1}(X)_t=X_{t+1})$).
2. On appelle moyenne mobile finie tout opérateur linéaire de la forme
   $${\phi}(B)=\sum_{u=-q}^p{\phi}_nB^u$$
   avec $p,q\in{\mathbb{Z}}$,
   $$B^u=\left\{ \begin{array}{ll} B^{\circ u}&\mbox{ si }u>0\ I&\mbox{ si }u=0\ (B^{-1})^{\circ(-u)}&\mbox{ si }u<0 \end{array}\right.$$
   et ${\phi}_{-q},\ldots,{\phi}_p\in{\mathbb{R}}$. Ainsi, $B^u(x)_t=x_{t-u}$ et
   $${\phi}(B)(x)_t=\sum_{u=-q}^p{\phi}_uB^u(x)_t=\sum_{u=-q}^p{\phi}_ux_{t-u}.$$
   L'ensemble des moyennes mobiles finies forme un ${\mathbb{R}}$-espace vectoriel de dimension infinie. On note ${\phi}$ le $p+q$-uplet $({\phi}_u,u=-q,\ldots,p)$.
3. A toute moyenne mobile finie on associe sa série de Laurent ou transformée en $z$ ${\phi}(z)=\sum_{u=-q}^p{\phi}_uz^u$, ainsi que sa série de Fourier ou fonction de transfert $\hat{\phi}({\theta})=\sum_{u=-q}^p{\phi}_ue^{-in{\theta}}$.

Un processus MA($q$) est donc un processus qui peut se mettre sous la forme $\left(I+{\theta}_1B+\cdots+{\theta}_qB^q\right)({\varepsilon})$ , avec ${\varepsilon}$ bruit blanc ; tandis qu'un processus faiblement stationnaire $X$ est un AR($p$) s'il vérifie
$\left(I+{\varphi}_1B+\cdots+{\varphi}_pB^p\right)(X)={\varepsilon}$ .

Propriété 2.II.1   Soit ${\varphi}(B)$ et ${\psi}(B)$ deux moyennes mobiles finies. Alors la transformée en $z$ de ${\varphi}(B)\circ{\psi}(B)$ est ${\varphi}(z){\psi}(z)$. En particulier, ${\varphi}(B)$ et ${\psi}(B)$ commutent. On a un résultat analogue avec la fonction de transfert.

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