Section : Caractérisation des processus MA
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Exercice 12.

Soit $ {\varepsilon}$ un bruit blanc de variance $ {\sigma}^2$, et $ X$ le processus faiblement stationnaire tel que
$\displaystyle \forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t={\varepsilon}_t-{\varepsilon}_{t-1} $
  1. Montrer que
    $\displaystyle P^\bot_{X_t,\ldots,X_{t-q}}({\varepsilon}_t)=\frac{1}{q+2}\bigl((q+1)X_t+qX_{t-1}+(q-1)X_{t-2}+\cdots+2X_{t-q+1}+X_{t-q}\bigr) $
  2. En déduire que $ {\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation de $ X$.
  3. Que dire de $ P^\bot_{X_{t+1},X_{t+2},\ldots}({\varepsilon}_t)$ ?


Thierry Cabanal-Duvillard