Section : Caractérisation des processus MA
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Fin de la démonstration du théorème .

On suppose que $X$ est un processus faiblement stationnaire centré vérifiant

$${\gamma}_X(q) \not=$$ 0

$${\gamma}_X(h) = 0\ \ \forall h>q$$

On veut montrer que $X$ est un processus MA($q$). Soit ${\varepsilon}$ le bruit blanc d'innovation associé, de variance ${\sigma}^2$. Comme $V^2(1,X_u,u\leq t)=V^2(1,X_u,u<t-q){\oplus}_\bot V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-q})$ , on en déduit

$$X_t = P^\bot_{V^2(1,X_u,u\leq t)}(X_t)=P^\bot_{V^2(1,X_u,u<t-q)}(X_t)+P^\bot_{V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-q})}(X_t)$$

$$= 0+P^\bot_{V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-q})}(X_t)$$

car $X_t$ est centré, décorrélé avec $(1,X_u,u<t-q)$ et donc orthogonal à $V^2(1,X_u,u<t-q)$. Or, $P^\bot_{V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-q})}(X_t)$ s'écrit

$$P^\bot_{V^2({\varepsilon}_t,\ldots,{\varepsilon}_{t-q})}(X_t)=\sum_{u=0}^q\frac{{\mathbb{E}}[{\varepsilon}_{t-u}X_t]}{\sigma^2}{\varepsilon}_{t-u}$$

D'après l'exercice , la stationnarité de $X$ implique que ${\mathbb{E}}[{\varepsilon}_{t-u}X_t]$ ne dépende pas de $t$ . Si on pose

$$\forall u=0,\ldots,q,\ {\theta}_u=\frac{{\mathbb{E}}[{\varepsilon}_{t-u}X_t]}{\sigma^2}$$

alors

$${\theta}_0 = \frac{1}{\sigma^2}{\mathbb{E}}[X_t{\varepsilon}_t]=\frac{1}{\sigma^2}\langle X_t,P^\bot_{V^2(X_u,u<t)^\bot}(X_t)\rangle$$

$$= \frac{1}{\sigma^2}\langle P^\bot_{V^2(X_u,u<t)^\bot}(X_t),P^\bot_... ...(X_u,u<t)^\bot}(X_t)\rangle=\frac{1}{\sigma^2}{\mathbb{E}}[{\varepsilon}_t^2]=1$$

$${\theta}_q = \frac{1}{\sigma^2}{\mathbb{E}}[X_t,{\varepsilon}_{t-q}]=\frac{1}{\sigma^2}\langle X_t,X_{t-q}-P^\bot_{V^2(X_u,u<t-q)}(X_{t-q})\rangle$$

$$= \frac{1}{\sigma^2}\langle X_t,X_{t-q}\rangle X_t\bot V^2(X_u,u<t-q)$$

$$= \frac{1}{\sigma^2}{\mathbb{E}}[X_tX_{t-q}]=\frac{{\gamma}_X(q)}{\sigma^2}\not=0.$$

Ainsi $X$ est-il la moyenne mobile d'ordre $q$ telle que

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ X_t={\varepsilon}_t+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q}$$

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