Section : Définition et premières propriétés
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Remarques :

• Grâce aux processus stationnaires, on pourra modéliser des phénomènes stables dans le temps, mais autres que ceux qu'un bruit blanc permettait de décrire.
• Un processus stationnaire du second ordre est faiblement stationnaire.
• Un processus gaussien faiblement stationnaire est stationnaire.
• Soit $X$ un processus faiblement stationnaire. Sa fonction moyenne étant constante, on note désormais ${\mu}_X$ cette constante. En outre, quels que soient $s,t\in{\mathbb{Z}}$,
  $${\gamma}_X(s,t)={\gamma}_X(0,t-s)={\gamma}_X(s-t,0)={\gamma}_X(0,s-t)={\gamma}_X(0,\vert t-s\vert)$$
  La fonction d'autocovariance peut donc être simplifiée en une fonction d'une seule variable sur ${\mathbb{N}}$ :
  $$\forall h\in{\mathbb{N}},\ \forall t\in{\mathbb{Z}},\ {\gamma}_X(h)\equiv{\gamma}_X(0,h)={\gamma}_X(t,t+h)$$
  En particulier, quel que soit $t\in{\mathbb{Z}}$, ${\gamma}_X(0)={\gamma}_X(t,t)=\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_t)$ . La fonction d'autocorrélation se simplifie elle-aussi :
  

  $${\rho}_X(t,t+h) = \frac{\mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_t,X_{t+h})}{\sqr... ...shape {var}}}\nolimits (X_t)\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (X_{t+h})}}$$

  $$= \frac{{\gamma}_X(t,t+h)}{\sqrt{{\gamma}_X(t,t){\gamma}_X({t+h},t+h)}}$$

  $$= \frac{{\gamma}_X(h)}{{\gamma}_X(0)}$$

  
  On notera donc
  $$\forall h\in{\mathbb{N}},\ \forall t\in{\mathbb{Z}},\ \rho_X(h)\equiv\rho_X(0,h)=\rho_X(t,{t+h})$$
  En particulier, on a toujours ${\rho}_X(0)=1$.
• Sous les mêmes hypothèses, on note ${\Gamma}_X(h)$ la matrice $({\gamma}_X(\vert i-j\vert)_{i,j=1}^{h}$ :
  $${\Gamma}_X(h)=\left( \begin{array}{cccc} {\gamma}_X(0)&{\gamma}_X... ...ots\ {\gamma}_X(h-1)&{\gamma}_X(h-2)&\cdots&{\gamma}_X(0) \end{array}\right)$$
  C'est la matrice de covariance de tout $h$-uplet de la forme $(X_t,\ldots,X_{t+h-1})$ ou $(X_t,\ldots,X_{t-h+1})$, avec $t\in{\mathbb{Z}}$. On note de même $R_X(h)$ la matrice $({\rho}_X(\vert i-j\vert)_{i,j=1}^{h}$ :
  $$R_X(h)=\left( \begin{array}{cccc} 1&{\rho}_X(1)&\dots&{\rho}_X(h-... ...dots&&\ddots&\vdots\ {\rho}_X(h-1)&{\rho}_X(h-2)&\cdots&1 \end{array}\right)$$

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