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Exemple

Construction d'un intervalle de prévision bilatère de $X_s$ dans le cas d'un modèle gaussien.

Soit $n=\char93 {\cal T}$, et $p=\dim W$ où $W$ est l'espace vectoriel engendré par ${\mathbb{E}}_{{\beta},{\sigma}^2}[X]$. Si le bruit blanc ${\varepsilon}$ est gaussien, alors $X_s-\hat X_s$ est une gaussienne centrée de variance ${\sigma}^2(1+e^2_s)$, indépendante de $\frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}(n-p)$ qui suit une loi du $\chi^2$ à $n-p$ degrés de liberté. On en déduit que

$$\frac{X_s-\hat X_s}{\hat{\sigma}\sqrt{1+e^2_s}}$$

suit une loi de Student à $n-p$ degrés de liberté. Soit $t_{n-p,1-{\alpha}/2}$ le fractile d'ordre $1-{\alpha}/2$ de cette loi. Alors

$$1-{\alpha}=\P_{{\beta},{\sigma}^2}\left(\left\vert\frac{X_s-\hat ... ...s-\hat{\sigma}\sqrt{1+e^2_s},\hat X_s+\hat{\sigma}\sqrt{1+e^2_s}\right]\right)$$

L'intervalle aléatoire $\left[\hat X_s-\hat{\sigma}\sqrt{1+e^2_s},\hat X_s+\hat{\sigma}\sqrt{1+e^2_s}\right]$ est donc un intervalle de prévision de $X_s$ au niveau de confiance $1-{\alpha}$.