Section : Test des extrema locaux
Précédent : Exercice 6.
Suivant : Test du Portemanteau

Exercice 7.

Le but de cet exercice est de définir un nouveau test de bruit blanc.

1. Rappeler les deux tests de bruit blanc vus en cours, en précisant leurs statistiques et zones de rejet.
2. Soit $({\varepsilon}_t,t=1,\ldots,2N)$ un bruit blanc gaussien de variance $1$. Soit $T$ le nombre de couples $({\varepsilon}_{2p-1},{\varepsilon}_{2p})$ de signe opposé, $p$ variant entre $1$ et $N$.
   1. Calculer $\P({\varepsilon}_t{\varepsilon}_{t+1}<0)$.
   2. Montrer que $T$ suit une loi binômiale de paramètres $1/2$ et $N$.
   3. Soit $x=(x_t,t=1,\ldots,2N)$ une série chronologique. Déduire de ce qui précède un test asymptotique de l'hypothèse $H_0$ : $x$ est une réalisation de bruit blanc gaussien.