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Test des extrema locaux

Ce test est aussi appelé ``Turning point test''. Il est de type non paramétrique, à l'instar d'un certain nombre de tests assez similaires (test du signe, test du rang).

Soit ${\varepsilon}=({\varepsilon}_1,\ldots,{\varepsilon}_n)$ une famille de variables aléatoires de loi à densité. On souhaite tester $H_0$ : ${\varepsilon}$ est un bruit blanc fort. Soit $i\in\{2,\ldots,n-1\}$. On dit que ${\varepsilon}_i$ est extremum local si ${\varepsilon}_i=\min\{{\varepsilon}_{i-1},{\varepsilon}_i,{\varepsilon}_{i+1}\}$ ou si ${\varepsilon}_i=\max\{{\varepsilon}_{i-1},{\varepsilon}_i,{\varepsilon}_{i+1}\}$ . Sous $H_0$, il est évident que la probabilité que ${\varepsilon}_i$ soit un minimum local est de $1/3$, ainsi que celle d'être un maximum local. La probabilité d'être un extremum local est donc de $2/3$. Soit $T$ le nombre d'extrema locaux. On déduit de ce qui précède que, sous $H_0$, ${\mathbb{E}}[T]=\frac{2}{3}(n-2)\equiv {\mu}_T$. De façon similaire, mais un peu plus fine, on pourrait aussi calculer sous $H_0$ $\mathop{\hbox{\upshape {var}}}\nolimits (T)=\frac{16n-29}{90}\equiv{\sigma}^2_T$ . On admet que pour $n$ assez grand et sous $H_0$, alors $T$ suit approximativement la loi ${\cal N}({\mu}_T,{\sigma}^2_T)$. On en déduit le test de $H_0$ au niveau ${\alpha}$ qui a pour zone de rejet

$$\frac{\vert T-{\mu}_T\vert}{{\sigma}_T}>{\phi}_{1-{\alpha}/2}$$

avec ${\phi}_a$ le quantile d'ordre $a$ de la loi gaussienne centrée réduite.

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