Définition :

Théorème 5.III.4 Soit $(E,\Vert .\Vert_2)$ un espace de Hilbert de dimension , et $e=(e_1,\ldots,e_d)$ une base hilbertienne.

Si $f=(f_1,\ldots,f_d)$ est une seconde base hilbertienne, alors la matrice de changement de base $M_{e,f}$ est orthogonale :
$\displaystyle {}^tM_{e,f}.M_{e,f}=M_{e,f}.{}^tM_{e,f}=I_d$ , i.e. $\displaystyle M_{e,f}^{-1}={}^tM_{e,f}$
Si est un endormorphisme auto-adjoint, alors
1. sa matrice $M_e({\varphi})$ relativement à la base est symétrique si ${\mathbb{K}}={\mathbb{R}}$ , hermitienne si ${\mathbb{K}}={\mathbb{C}}$ :
  $\displaystyle M_e({\varphi})={}^tM_e({\varphi})\ ;$
2. il existe une base hilbertienne $f=(f_1,\ldots,f_d)$ de vecteurs propres ; sa matrice $M_f({\varphi})$ relativement à cette base est diagonale ;
3. on a la relation $M_e({\varphi})=M_{e,f}M_f({\varphi})M_{f,e}=M_{f,e}^{-1}M_f({\varphi})M_{f,e}={}^tM_{f,e}M_f({\varphi})M_{f,e}$ .
Si $\P$ est un projecteur orthogonal sur un sous-espace de , alors il ne possède que deux valeurs propres 0 et ; soit $(f_1,\ldots,f_p)$ une base hilbertienne de et $(f_{p+1},\ldots,f_d)$ une base hilbertienne de $W^\bot$ ; alors $f=(f_1,\ldots,f_d)$ est une base hilbertienne de , et la matrice de $\P$ relativement à cette base vaut
$\displaystyle M_f(P)=\left( \begin{array}{cc} I_p&0\ 0&0 \end{array}\right)$

Proposition 5.III.5 Soit $(x_n,n\in{\mathbb{N}}^*)$ une famille libre de . Alors il existe une famille orthonormée $(e_n,n\in{\mathbb{N}}^*)$ telle que, pour tout $N\in{\mathbb{N}}^*$ ,

$\displaystyle V(e_1,\ldots,e_n)=V(x_1,\ldots,x_n).$

Les matrices de changement de base $M_{(x_1,\ldots,x_n),(e_1,\ldots,e_n)}$ et $M_{(e_1,\ldots,e_n),(x_1,\ldots,x_n)}$ sont triangulaires supérieures, et on a la formule de récurrence

$\displaystyle e_{n+1}=\frac{P^\bot_{V(x_1,\ldots,x_n)^\bot}(x_{n+1})}{\Vert P^\... ...i\rangle e_i}{\Vert x_{n+1}-\sum_{i=1}^n\langle x_{n+1},e_i\rangle e_i\Vert_2}$