Section : Bases hilbertiennes, et diagonalisation
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Preuve

On considère $S$ comme la matrice d'un produit scalaire relativement à la base canonique $x=(x_1,\ldots,x_d)$. Soit $e=(e_1,\ldots,e_d)$ la base hilbertienne construite par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt. Dans cette base, la matrice du produit scalaire est l'identité. On en déduit

$$S={}^tM_{e,x}.I.M_{e,x}={}^tT.T$$

avec $T$ la matrice triangulaire supérieure , dont les colonnes sont les coordonnées de la base $x$ dans la nouvelle base $e$.