Section : Bases hilbertiennes, et diagonalisation
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Définitions :

Soit $(x_i,i\in I)$ une famille au plus dénombrable de vecteurs d'un espace de Hilbert $(E,\Vert .\Vert_2)$ :

• elle est dite orthogonale si ses éléments sont deux-à-deux orthogonaux ;
• elle est dite orthonormée si elle est orthogonale et si ses éléments sont tous de norme $1$ ;
• elle est dite totale si $V^2(x_i,i\in I)=E$ ;
• on la nomme base hilbertienne si elle est orthonormée et totale.

Proposition 5.III.1   Soit $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille orthonormée finie. Alors

$$\forall x\in E,\ \ P^\bot_{V(x_1,\ldots,x_n)}=\sum_{i=1}^n\langle x,x_i\rangle x_i$$

Théorème 5.III.2 (Bessel-Parseval)   Soit $(x_i,i\in I)$ une famille orthonormée de $(E,\Vert .\Vert_2)$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. La famille $(x_i,i\in I)$ est une base hilbertienne.
2. $\forall x\in E,\ \ \Vert x\Vert_2^2=\sum_{i\in I}\vert\langle x,x_i\rangle\vert^2$ .
3. $\forall x,y\in E,\ \ \langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,x_i\rangle\langle x_i,y\rangle$ .

Corollaire 5.III.3   Soit $(x_i,i\in I)$ une base hilbertienne de $(E,\Vert .\Vert_2)$. Alors, pour tout $x\in E$,

$$x=\sum_{i\in I}\langle x,x_i\rangle x_i$$

Autrement dit, les espaces de Hilbert $E$ et $l^2({\mathbb{Z}})$ sont isométriques.