Section : Prédiction pour un processus
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Erreur de prévision

Notons $\check{d}_{N+h}=X_{N+h}-\check X_N(h)$. On a la formule de récurrence

$$\check{d}_{N+h}+{\phi}_1^*\check{d}_{N+h-1}+\cdots+{\phi}_{p^*}^*... ..._{N+h-p^*}=\sum_{j=0}^{q\wedge h-1}{\theta}_{N+h,j}\tilde{\varepsilon}_{N+h-j}$$

Exemples :

$$\begin{array}{rl} \check{d}_{N+1}&=\tilde{\varepsilon}_{N+1}... ...phi}^*_1+{\theta}_{N+2,1})\tilde{\varepsilon}_{N+1} \end{array}$$

Par récurrence, on montre ainsi qu'il existe des coefficients ${\zeta}_{h,i}$ tels que

$$\check{d}_{N+h}=\sum_{i=1}^h{\zeta}_{h,i}\tilde{\varepsilon}_{N+i}$$

L'erreur de prévision est donc égale à

$$\Vert X_{N+h}-\check X_N(h)\Vert_2^2={\mathbb{E}}[\check{d}_{N+h}^2]={\sigma}^2_{\varepsilon}\sum_{i=1}^h{\zeta}_{h,i}^2{\delta}_{N+i}$$

Le calcul des coefficients ${\zeta}_{h,i}$ s'effectue grâce à la formule de récurrence

$${\zeta}_{h,i}=-{\phi}_1^*{\zeta}_{h-1,i}-\cdots-{\phi}_{p^*}^*{\zeta}_{h-p^*,i}+{\theta}_{N+h,h-i}$$

avec ${\zeta}_{k,i}=0$ si $k<i$.