Section : Prédiction pour un processus
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Fonction de prévision

La suite $(\check X_N(h))_{h> q}$ vérifie la relation de récurrence

$$\check X_N(h)+{\phi}^*_1\check X_{N}(h-1)+\cdots+{\phi}^*_{p^*}\check X_{N}(h-p^*)=0$$

qui admet comme polynôme caractéristique

$$z^{p^*}+{\phi}^*_1z^{p^*-1}+\cdots+{\phi}^*_{p^*}(=z^{p^*}{\phi}^*(1/z))$$

Les racines de ce polynôme sont $1/{\alpha}_1$,..., $1/{\alpha}_n$ avec $({\alpha}_i)$ les racines de ${\phi}^*(z)$. Soient $d_1,...,d_n$ les multiplicités respectives de ces racines. Alors il existe $P_1,...,P_n$, polynômes de degrés respectifs $d_1-1,...,d_n-1$ tels que, pour tout $h>q$,

$$\check X_N(h)={P_1(h)\over {\alpha}_1^h}+\cdots+{P_n(h)\over {\alpha}_n^h}$$

Les valeurs initiales $\check X_{N}(q),...,\check X_N(q-p+1)$ qui permettent de déterminer $P_1,...,P_n$, sont appelées valeurs pivotales.