Section : Prédiction pour un processus
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Exercice 7.

Soit $X$ un processus faiblement stationnaire de type MA(1), vérifiant :

$$X_t={\varepsilon}_t+0,6{\varepsilon}_{t-1} \ \ \forall t\in{\mathbb{Z}}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc faible de variance 1. On définit, à l'aide de l'algorithme des innovations, les variables aléatoires $\tilde{\varepsilon}_t$ et les coefficients $({\theta}_{n,t})_{0\leq n<t}$ tels que

$$\tilde{\varepsilon}_t = X_t-P^\bot_{V^2(X_1,...,X_{t-1})}(X_t)$$

$$X_t = \sum_{n=0}^{t-1}{\theta}_{n,t}\tilde{\varepsilon}_{t-n}$$

1. Que vaut ${\theta}_{0,t}$ ? Que valent ${\theta}_{n,t}$ pour $n\geq 2$ ? Quelle est la limite de ${\theta}_{1,t}$, quand $t$ tend vers l'infini ?
2. Déterminer en fonction de $tilde{\varepsilon}$ et de ${\theta}_{1,t}$ les prédicteurs linéaires $\check X_N(h)=P^\bot_{V^2(X_1,...,X_N)}(X_{N+h})$, ainsi que la variance des erreurs de prédiction. En donner une approximation pour $N$ grand.