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Suppression d'un comportement a-périodique non stationnaire

Une dérivation par $(1-B)$ est aussi utile pour étudier des processus non stationnaires qui n'admettent pas pour autant de tendance simple.

Exemple : cas d'une marche aléatoire $X$

$$X_t={\varepsilon}_t+X_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc. Alors le processus dérivé $Y=(1-B)(X)$ est égal en fait à ${\varepsilon}$, et il est facile de l'identifier. D'autre part, on vérifie facilement que ${\mathbb{E}}[X_t]=$cte, et qu'il ne présente donc pas de tendance particulière.

Figure: Graphe d'une réalisation de la marche aléatoire $X$ pour $t\in\{1,...,100\}$

Figure: Autocorrélogramme associé

Il peut être utile aussi de dériver pour obtenir une meilleure précision des paramètres du modèle. Supposons que l'on ait une série temporelle $x$ que l'on modélise par un processus ARMA vérifiant

$${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$$

avec ${\phi}(z)$ un polynôme possédant une racine proche de l'unité. Dans ce cas, l'intervalle de confiance pour l'estimation des coefficients de ${\theta}$ et ${\phi}$ sera grand. La raison en est que le processus $X$ est très proche d'un processus non stationnaire, et sur l'intervalle de temps fini sur lequel on le considère, il peut même en être quasi indiscernable. Or les résultats de convergence des estimations ne sont valables que pour des processus stationnaires.

Dans cette situation, il peut être préférable de dériver $x$ par $(I-B)$, et de modéliser la série résultante par un processus ARMA dont le polynôme ${\theta}$ associé ne possède pas de racine proche de l'unité, et pour lequel l'approximation des autres coefficients sera plus fine.

Les situations où il est utile de dériver sont donc plus nombreuses que celles où il s'agit simplement d'enlever une tendance polynômiale. Mais dans le cas où une tendance est présente qu'il s'agit de soustraire, notons que si la dérivation peut permettre de modéliser correctement la série temporelle, en revanche elle ne donne pas d'information sur la tendance elle-même.

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