Section : Estimateurs des moindres carrés
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Exercice 6.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus AR($2$), vérifiant $X_t+{\phi}_1X_{t-1}+{\phi}_2X_{t-2}={\varepsilon}_t$ avec ${\varepsilon}$ bruit blanc. On note $\tilde{\phi}_1^{(N)}$ et $\tilde{\phi}_2^{(N)}$ les estimateurs du maximum de vraisemblance de ${\phi}_1$ et ${\phi}_2$ connaissant $(X_1,\ldots,X_N)$. Quand $N$ tend vers l'infini, $\sqrt{N}(\tilde{\phi}_1^{(N)}-{\phi}_1,\tilde{\phi}_2^{(N)}-{\phi}_2)$ tend en loi vers un vecteur gaussien centré $(U,V)$ de matrice de covariance

$$\left(\begin{array}{cc} 1-{\phi}_2^2&{\phi}_1(1-{\phi}_2)\ {\phi}_1(1-{\phi}_2)&1-{\phi}_2^2 \end{array}\right)$$

En déduire des domaines de confiance au niveau ${\alpha}$ pour ${\phi}_1$, ${\phi}_2$, puis pour le couple $({\phi}_1,{\phi}_2)$.