Section : Estimateurs des moindres carrés
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Exercice 5.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus AR($p$), vérifiant ${\phi}(B)(X)_t={\varepsilon}_t$ avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}_{\varepsilon}^2$. On pose $\tilde{\varepsilon}_i=X_i-P^\bot_{V^2(1,X_1,\ldots,X_{i-1})}(X_i)$ . Soit $x=(x_1,\ldots,x_N)\in{\mathbb{R}}^N$ une réalisation de $(X_1,\ldots,X_N)$, $(\tilde e_{1}^{({\phi})}(x),\ldots,\tilde e_{N}^{({\phi})}(x))$ la réalisation correspondante de $(\tilde{\varepsilon}_1,\ldots,\tilde{\varepsilon}_N)$. On note ${\delta}_i={\mathbb{E}}[\tilde{\varepsilon}_{i}^2]/{\sigma}^2_{\varepsilon}$ .

a) Montrer que pour tout $t>p$, ${\delta}_{t}=1$ et $\tilde e_{t}^{({\phi})}(x)={\phi}(B)(x)_t$.

b) En déduire une expression simple de la vraisemblance de $x$ dans ce modèle AR($p$).