Section : Estimateurs des moindres carrés
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Exercice 4.

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus stationnaire de type AR(1), vérifiant l'équation

$$X_t={\phi}X_{t-1}+{\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ un bruit blanc gaussien de variance ${\sigma}^2_{\varepsilon}$, et $\vert\phi\vert<1$.

1) Déterminer la matrice de covariance du vecteur aléatoire $(X_1,X_2)$, en fonction de ${\phi}$ et ${\varepsilon}^2_{\varepsilon}$. En déduire la densité de la loi de $(X_1,X_2)$.

On rappelle que si $\det\left(\begin{array}{ccc} a & b\\ c&d\end{array}\right)=ad-bc\not=0$ , alors $\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c&d\end{array}\right)^{-1}={1\over ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c&a\end{array}\right)$ .

2) On suppose connues deux observations $x_1$ et $x_2$ du processus $X$ aux instants 1 et 2. Déterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance de ${\phi}$ et ${\sigma}^2_{\varepsilon}$ en fonction de $x_1$ et $x_2$.