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Cas d'un processus ARMA($p,q$)

On pourrait s'inspirer du critère du coin pour construire un test sur les paramètres $p$ et $q$. En pratique, on procède différemment et plus simplement en vertu de la remarque suivante : si $X$ un processus ARMA($p,q$) vérifiant

$${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$$

avec ${\theta}(z)$ et ${\phi}(z)$ sans racine commune, et ${\varepsilon}$ bruit blanc d'innovation de variance ${\sigma}^2$, alors il peut se mettre sous forme MA($\infty$)

$$X_t={\varepsilon}_t+\sum_{u\geq 1}{\psi}_u{\varepsilon}_{t-u}$$

ou AR($\infty$)

$$X_t+\sum_{v\geq 1}{\eta}_vX_{t-v}={\varepsilon}_t$$

Comme on a les inégalités

$${\mathbb{E}}\left[\left(X_t-{\varepsilon}_t-\sum_{u=1}^{q'}{\psi}_u{\varepsilon}_{t-u}\right)^2\right] \leq {\sigma}^2\left(\sum_{u\geq q'+1}\vert{\psi}_u\vert\right)^2$$

$${\mathbb{E}}\left[\left(X_t-{\varepsilon}_t+\sum_{v\geq 1}^{p'}{\eta}_vX_{t-v}\right)^2\right] \leq {\gamma}_X(0)\left(\sum_{u\geq p'+1}\vert{\eta}_u\vert\right)^2$$

et que $\sum_{u\geq 0}\vert {\psi}_u\vert$ comme $\sum_{u\geq 0}\vert {\eta}_u\vert$ sont finis, on en déduit qu'il est possible d'approcher d'aussi près qu'on le souhaite $X$ par un processus de type MA($q'$) ou AR($p'$) avec $p'\geq p$ et $q'\geq q$. En pratique, on choisit pour valeurs de $p'$ et $q'$ celles que l'on détermine par les méthodes vues précédemment, en supposant le processus AR puis MA. Cela fournit une première modélisation de $X$ comme processus ARMA($p',q'$), avec en général plusieurs couples $(p',q')$ possibles. On verra par la suite comment améliorer cette première estimation-majoration des paramètres de ``taille'' du processus ARMA.
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