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Cas d'un processus MA($q$)

Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus MA($q$). D'après le théorème , pour tout $r>q$, alors l'autocorrélation empirique ${\rho}_X^{(N)}(r)$ est approximativement une gaussienne centrée de variance

$$\frac{1}{N}\left(1+\sum_{u=1}^q{\rho}_X(u)^2\right)=\frac{1}{N}\left(1+\sum_{u=1}^r{\rho}_X(u)^2\right)$$

En pratique, on fait donc l'approximation

$$\forall r>q,\ \ \sqrt N\frac{{\rho}_X^{(N)}(r)}{\sqrt{1+\sum_{u=1}^r{\rho}^{(N)}_X(u)^2}}\approx {\cal N}(0,1).$$

On en déduit un test (pratique mais peu rigoureux) de $H_0$ : $X$ est un MA($q$) ; si pour (presque) tout $r>q$ et $r<N/4$, on a

$$\left\vert{\rho}_X^{(N)}(r)\right\vert<1,96\sqrt{\frac{1+\sum_{u=1}^r{\rho}^{(N)}_X(u)^2}{N}},$$

alors on accepte $H_0$. Si l'on se limite à $r<N/4$, c'est que l'estimation de ${\rho}_X^{(N)}(r)$ devient de moins en moins précise quand $r$ croît vers $N$.