Section : Ergodicité
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Définition :

Le processus stationnaire ${(X_t, t\in {\mathbb{Z}})}$ est dit ergodique si

$$\forall k\in{\mathbb{N}}^*,\ \ \forall \phi\ :\ {\mathbb{R}}^k\rightarrow {\mathbb{R}}$$

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}{1\over N}\sum_{p=0}^{N-1}\phi(X_{p+1},...,X_{p+k})={\mathbb{E}}\Bigl[\phi(X_1,...,X_k)\Bigr]\ \ \P$$

Pour qu'un processus stationnaire $X$ soit ergodique, il suffit essentiellement que $X_t$ et $X_s$ soient asymptotiquement indépendants quand $\vert t-s\vert$ tend vers l'infini. C'est évidemment le cas si $X$ est une famille de variables aléatoires i.i.d. Un contre-exemple simple est donné par le processus $(Y_n=\varepsilon_1)_{n\in {\mathbb{N}}}$ : il est stationnaire, mais

$$\lim_{N\rightarrow +\infty}{1\over N}\sum_{p=1}^N\phi\bigl(Y_p(\omega),...,Y_{p+n}(\omega)\bigr)$$

$$= \lim_{N\rightarrow +\infty}{1\over N}\sum_{p=1}^N\phi\bigl(\varepsilon_1(\omega),...,\varepsilon_1(\omega)\bigr)$$

$$= \phi\bigl(\varepsilon_1(\omega),...,\varepsilon_1(\omega)\bigr)\not={\mathbb{E}}\bigl[\phi(\varepsilon_1,...,\varepsilon_1)\bigr]$$

Théorème 3.I.1   Si $X$ est un processus gaussien stationnaire, et si sa fonction d'autocorrélation tend vers 0 en l'infini, alors sa partie déterministe est constante et il est ergodique.