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Définition :

Un filtre autorégressif ${\psi}(B)$ d'ordre $p$ est l'inverse d'un filtre MA($p$) :

$${\psi}(B)=(I+{\phi}_1B+\cdots+{\phi}_pB^p)^{-1}$$

avec ${\phi}_p\not=0$, et ${\phi}(z)=1+{\phi}_1z+\cdots+{\phi}_pz^p$ ne s'annulant pas sur le cercle unité. On le dit AR($p$). Il est causal si ${\phi}(z)$ ne s'annule pas sur le disque unité. Sa transformée en $z$ est l'inverse d'un polynôme :

$${\psi}(z) = \sum_{u=-\infty}^{+\infty}{\psi}_uz^u$$

$$= {1\over {\phi}(z)}={1\over 1+{\phi}_1z+\cdots+{\phi}_pz^p}$$

car ${\phi}(z){\psi}(z)=({\phi}\circ{\psi})(z)=I(z)=1$.

Si un filtre AR($p$) est causal, il s'écrit comme

$${\psi}(z) = 1+\sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}_iz^i$$

$${\psi}(B) = 1+\sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}_iB^i$$

On parle alors de représentation sous forme MA($\infty$).

Autrement dit, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $l^1({\mathbb{Z}})$, on a les équivalences

$$y={\psi}(B)(x)$$

$$\Longleftrightarrow x_t=y_t+{\phi}_1y_{t-1}+\cdots+{\phi}_{t-p}y_{t-p}\ \ \forall t\in{\mathbb{Z}}$$

$$\Longleftrightarrow y_t=x_t+{\psi}_1x_{t-1}+{\psi}_2x_{t-2}+\cdots\ \ \forall t\in{\mathbb{Z}}$$

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