Section : Filtres ARMA
Précédent : Définition :
Suivant : Représentation causale et inversible

Définition :

Un filtre ${\psi}(B)$ est dit de type ARMA($p,q$) s'il est le produit de composition d'un filtre AR($p$) avec un filtre MA($q$) :

$${\psi}(B)=(I+{\phi}_1B+\cdots+{\phi}_pB^p)^{-1}\circ(I+{\theta}_1B+\cdots+{\theta}_qB^q)$$

Sa transformée en $z$ est le rapport des deux polynômes :

$${\psi}(z)={{\theta}(z)\over {\phi}(z)}$$

avec

$${\theta}(z) = 1+{\theta}_1z+\cdots+{\theta}_qz^q$$

$${\phi}(z) = 1+{\phi}_1z+\cdots+{\phi}_pz^p$$

On pourra toujours supposer que les deux polynômes ${\theta}(z)$ et ${\phi}(z)$ n'ont pas de racine commune (dans le cas contraire, après simplification, ${\psi}(B)$ apparaît comme un filtre ARMA d'ordres inférieurs).

Si le filtre AR($p$) ${\phi}(B)^{-1}$ est causal, il en est de même de ${\psi}(B)$, et il en existe une représentation MA($\infty$) :

$${\psi}(z) = 1+\sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}_iz^i$$

$${\psi}(B) = I+ \sum_{i=1}^{+\infty}{\psi}_iB^i$$

De façon symétrique, si ${\theta}(z)$ ne s'annule pas sur le disque unité, alors ${\theta}(B)$ est un filtre inversible, et son inverse est causal. Le filtre ${\theta}(B)^{-1}\circ{\varphi}(B)$ est alors causal, et peut s'écrire

$${\theta}(B)^{-1}\circ{\varphi}(B)=I+\sum_{i=1}^{+\infty}{\xi}_iB^i$$

On parle de représentation AR($\infty$).

Soient $x$ et $y$ deux éléments de $l^1({\mathbb{Z}})$, alors

$$y={\psi}(x) \Longleftrightarrow y={\phi}(B)^{-1}\circ{\theta}(B)(x)\Longleftrightarrow {\phi}(B)(y)={\theta}(B)(x)$$

$$\Longleftrightarrow \forall t\in{\mathbb{Z}}\ \ y_t+{\phi}_1y_{t-1}+\cdots+{\phi}_{t-p}y_{t-p}=x_t+{\theta}_1x_{t-1}+\cdots+{\theta}_qx_{t-q}$$

Section : Filtres ARMA
Précédent : Définition :
Suivant : Représentation causale et inversible