Section : Filtres ARMA
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Démonstration

• Si ${\alpha}=e^{i{\theta}}$, alors ${\Psi}_{({\alpha})}$ n'est pas surjective. En effet, s'il existait $x\in l^1({\mathbb{Z}})$ tel que ${\Psi}_{({\alpha})}(x)=i=(i_t=1_{t=0},t\in{\mathbb{Z}})$, alors $x_0-x_{-1}e^{i{\theta}}=1$ et $x_t-x_{t-1}e^{i{\theta}}=0$ quel que soit $t\not=0$ ; il en résulte $x_t=e^{it{\theta}}x_0$ si $t\geq0$ et $x_t=e^{it{\theta}}(x_0-1)$ si $t<0$. Ce qui est en contradiction avec le fait que $\vert x_t\vert$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $\pm\infty$, puisque $x$ appartient à $l^1({\mathbb{Z}})$.
• Si $\vert{\alpha}\vert>1$, alors on définit le filtre linéaire ${\phi}(B)=\sum_{u=0}^{+\infty}{\alpha}^{-u}B^u$ (on vérifie bien que $\sum_{u=0}^{+\infty}\vert{\alpha}^{-u}\vert<+\infty$. Ce filtre est de transformée en $z$ égale à ${\phi}(z)=\sum_{u=0}^{+\infty}{\alpha}^{-u}z^u=\frac{\alpha}{{\alpha}-z}$ . On en découle que
  $$({\Psi}_{({\alpha})}*{\phi})(z)={\Psi}_{({\alpha})}(z){\phi}(z)=(1-\frac{z}{\alpha})\frac{\alpha}{{\alpha}-z}=1=I(z)$$
  Autrement dit, ${\Psi}_{({\alpha})}(B)\circ{\phi}(B)=({\Psi}_{({\alpha})}*{\phi})(B)=I$ . Le filtre ${\phi}$ est donc l'inverse de ${\Psi}_{({\alpha})}$ et il est causal.
• Si $\vert{\alpha}\vert<1$, alors on raisonne de même avec le filtre ${\phi}(B)=\sum_{u=1}^{+\infty}{\alpha}^uB^{-u}$.

Corollaire 2.III.5   Un filtre MA($q$) est inversible si et seulement si sa transformée en $z$ n'a pas de racine de module $1$. Son inverse est causal si et seulement si toutes ses racines sont de module strictement supérieur à $1$.